[科普中国]-次序统计量

简介

设 X1,X2,…, Xn是取自总体X的样本，X(i) 称为该样本的第i个次序统计量，它的取值是将样本观测值由小到大排列后得到的第i个观测值。从小到大排序为x(1),x(2), …,x(n)，则称X(1),X(2), …,X(n)为顺序统计量。

显然：

(1) 最小顺序统计量

(2)最大顺序统计量

(3) 极差(Range)

(4)四分位极差(iql)

样本X1,X2,…,Xn是独立同分布的，而次序统计量X(1),X(2),…,X(n) 则既不独立，分布也不相同。1

次序统计量的性质次序统计量是充分统计量

证明：

由充分统计量的定义可知，只需要证明其条件分布与总体分布无关即可.由于样本具有独立性与同分布性，因而

其中，是的一个置换，这样的置换共有，由此可见，此条件分布与总体无关，故次序统计量是充分统计量。

单个次序统计量的分布设总体X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x), X1, X2,…, Xn为样本，则第k个次序统计量X(k)的密度函数为

证明：k=1,n时，直接可得

多个次序统计量的联合分布对任意多个次序统计量可给出其联合分布，以两个为例说明：

（1）次序统计量的联合分布密度函数为：

（2）的联合分布密度（连续型）为：