[科普中国]-嘉当矩阵

李代数

所谓广义嘉当矩阵是具有下述性质的方阵：2

各项皆为整数：。

对角线上的项等于二：。

非对角线项非正：

。

存在正对角方阵D 使 A 可以写成 ，其中 S 是对称方阵。

第四个条件可由第一及第五个条件导出。在第五个条件中，若可取 S 为正定，则称 A为嘉当矩阵。

若两个嘉当矩阵差一个排列矩阵的共轭：，则称两者同构。若一嘉当矩阵同构于分块对角的嘉当矩阵，则称之为可化的，反之则称为不可化。

由半单李代数可以得到根系，对应的广义嘉当矩阵定义为

其中 是选定的单根。单李代数对应于不可化嘉当矩阵。

不可化嘉当矩阵可透过连通丹金图分类。具体方式是取 n 个顶点（n 为嘉当矩阵 A 的阶数），将顶点 i,j以条边相连。定义每个顶点的权 使得，若两个相邻顶点 i,j 的权不同，则规定边从权大者指向小者。这套模式类似于从根系定义丹金图的手法。

表示理论对于域 F上的有限维结合代数 A，考虑不可约、 F-有限维左 A-模，对每个 ，存在唯一的不可分解左射影模（至多差一个同构），使得 。取为 在的合成列中作为合成因子的重数。方阵 称为 A的嘉当矩阵。