[科普中国]-测地挠率

曲面在其上点P处沿给定方向的测地挠率(geodesic torsion)是通过点P的沿给定方向的测地线的挠率。曲面上的一条曲线在点P处的测地挠率是曲面在点P处沿该曲线方向的测地挠率1。

定义在曲面上，过P点的非直测地线以单位切向量

为初始方向，我们称此测地线C在P点的挠率为曲面在P点沿方向的测地挠率，记作。

或者说：在曲面上点P处给定一个单位向量，作过点P以为切向量的测地线C，则C在点P处的挠率，称为在点P处沿方向的测地挠率，记作。

另一种记法：曲面上点P的方向的测地挠率为

曲面在点P的方向的测地挠率为上通过点P以为切方向的测地线在这点的挠率4。

计算公式定理1 在曲面上过P点非直测地线C(设C的方程为：)，在该点沿方向的测地挠率为

测地挠率的另一种形式的计算公式是

其中，为曲面的第一基本齐式4。

曲面上异于直线的渐近曲线的每点的挠率等于在这点沿方向的测地挠率。

曲线是曲率线↔沿的测地挠率。

推论2 曲面上一条曲线C 为曲率线的充分必要条件是在曲线C上每点处，关于它的切方向上的测地挠率为零。

定理3 测地挠率的贝特朗公式

其中为主曲率，是曲面在点P的方向与第一主方向的夹角。

定理4测地挠率与法曲率之间有关系

本词条内容贡献者为:

尚华娟 - 副教授 - 上海财经大学