[科普中国]-挠率形式

概念

挠率形式是刻画联络对称性的二次形式。设(M，)是n维仿射联络空间，{ωi}是定义在开邻域UM上的局部余标架场，ωji是相应的联络形式。若Ωi=dωi-ωj∧ωij，则Ωi是定义在U上的二次外微分式，称为挠率形式。直接计算可得：1

其中，Tijk是挠率张量T在相应的局部标架场{ei}下的分量，即T(ej，ek)=Tijkei。

仿射联络仿射联络简称联络。主丛上的一种微分几何结构。所谓仿射联络应该是以仿射变换群为结构群的主丛上的联络，在以一般线性群为结构群的主丛上的联络称为线性联络。应用比较广泛的是线性联络，特别是在与一般线性群的主丛相配的向量丛上的联络；而且，在历史上长期把现在所称的线性联络称为仿射联络。因此，本条目的仿射联络按习惯的定义，指的是线性联络。设M是n维光滑流形，Γ(TM)表示切丛TM的全体光滑截面(即C向量场)组成的空间.流形M上的一个仿射联络是指映射：2

它对任意两个光滑切向量场X，Y，指定了一个光滑的切向量场XY，满足以下条件：

1.X+YZ=XZ+YZ.

2.X(Y+Z)=XY+XZ.

3.f·XY=f·XY.

4.X(f·Y)=X(f)·Y+f·XY，

其中f∈C∞(M)，X，Y，Z∈Γ(TM)。注意：XY关于自变量X是C∞(M)线性的，因此，对于光滑的切向量场Y以及Xp∈TpM，能够定义XpY为TpM中一个确定的元素。

联络是加在微分流形M上，使得对于M上的光滑的向量场能够进行微分的一种结构.通常，把XpY称为切向量场Y关于点p处的切向量Xp的协变微商，也称共度导数。在仿紧光滑流形上，联络总是存在的。若在光滑流形M上指定了一个联络，则称(M，)为仿射联络空间。设(M，)是一个仿射联络空间，在局部坐标系(U;x)下，若：

则称Γkij为联络在该坐标系下的系数。在局部坐标变换下，联络系数Γij不遵循张量的坐标变换规律，即联络不是张量.它的坐标变换规律为：设(V，y)是另一个局部坐标系，U∩V≠∅。记：

则在U∩V上有：

一般地，若在M上取定一个局部标架场{ei}，其对偶的余标场为{ωi}，记eiej=Γkijek，ωkj=Γkijωi，则称Γkij为联络关于局部标架场{ei}的系数，ωkj为联络形式。在仿射联络空间(M，)上，最重要的不变量为挠率张量和曲率张量。联络可以用来定义微分流形上的切向量场沿一条曲线的平行性；反过来，利用切向量沿曲线平行移动的概念可以给出协变微商的几何意义。在仿射联络空间(M，)上，对任意的张量场也能定义它们的协变微商。

微分流形M上的仿射联络的概念可以直接推广为微分流形M上任意一个向量丛上的联络。

联络概念的产生是微分几何发展史中的一件大事。克里斯托费尔(Christoffel，E.B.)于1869年创立了用度量张量gij的微商构造的克里斯托费尔符号。后来，里奇(Ricci，C.G.)将克里斯托费尔的方法做了系统的阐述和发展，创立了他所称的绝对微分学，使得对张量的分量求绝对微商之后仍是一个张量。列维-齐维塔(Levi-Civita，T.)于1917年引进向量平行移动的概念，革新了里奇的张量分析，赋予绝对微分以鲜明的几何意义。这些工作实际上是从黎曼度量出发定义了一种特定的联络，而黎曼流形的曲率恰好是切向量绕一点做平行移动一周所出现的差别。外尔(Weyl，(C.H.)H.)观察到满足一定的坐标变换规律的量Γij比度量张量gij更为基本，他把给定了Γij的空间称为仿射联络空间，其中切向量沿曲线的平行移动、测地线、曲率张量等都是有意义的.从名称来看，仿射联络空间与黎曼空间的关系，就像是仿射空间与欧氏空间的关系。现在所通用的联络的定义是科斯居尔(Koszul，J.L.)给出的。

幺正标架场黎曼流形上的一类特殊标架场。若(M，g)是n维黎曼流形，则在每一点p∈M的一个邻域U内必存在单位正交标架场{ei}，使得g(ei，ej)=δij，称{ei}为M上的局部幺正标架场。若{ω}是{ei}的对偶余标架场，则黎曼度量张量g可表成：3

简称{ω}为幺正余标架场。