[科普中国]-无挠模

无挠模(torsion free module)是一类重要的模，它是无非平凡挠元的模。设M是A模，若除0外没有挠元，即T(M)=0，则称AM为无挠模，此时由ax=0一定有a=0或x=0。当A是整数环，对任意A模M，M/T(M)是无挠的，一个Z模是平坦模的充分必要条件是它为无挠模1。

定义如果 是一个同构映射，则称A是一个自反模，若果 是一个单同态映射，则称A是一个无挠模。有时也称为半自反模，我们也常把 称为A的无挠因子2。

无挠模的几个性质性质1一个-模A是无挠模的充要条件是。

性质1的另一种说法：

性质1* 一个-模A是无挠模的充要条件是对于任意 则存在一个 使得 。

性质2无挠模的子模仍是无挠模。

定理3 设P是一个有限生成的投射模，则P是自反模。

定理4 （第三对偶性质）序列

是正合的(即存在一个-同态 使 )。这里 是标准同态。

由定理4 立即得到下列定理:

定理5 任意模的对偶模是个无挠模，自反模的对偶模仍是自反模2。

模的挠性质正如函子 与模扩张的关系一样，函子 与模的挠性质也有一定的关系，模的挠性质英文字为Torsion，而函子恰是取其前三个字母所组成的记号。不过，讨论到模的挠性质时，我们只考虑整环上的模。

设是一个整环(有单位元，无零因子的交换环)，K为其商域，并取 则N与K都是-模，而且都是可除的，同时都是内射-模。同样，作为-模，是可除的，同时是内射的，可直接验证K是平坦-模。

设A为任一个-模，定义{有使}，则为A的一个子模。若则A叫做一个挠模，若则A 叫做一个无挠模。由于所以本身是一个挠模，称为A 的挠子模.若为模同态，它当然把变到故t是到其自身的一个函子，称为挠函子3。

我们有：

引理1 若A 是挠模，则

引理2 若A 是任意的-模，则对任何有

引理3 若A是无挠模，则

定理 有自然同构（与都作为-模）3

本词条内容贡献者为:

王海侠 - 副教授 - 南京理工大学