[科普中国]-三元齐次线性方程组

三元齐次线性方程组(system of ternary homogeneous linear equations)亦称三元一次齐次方程组，是一种特殊的线性方程组，即方程组中的各个方程的常数项都是零的三元线性方程组。在初等数学中，三元齐次线性方程组常指aix+biy+ciz=0(i=1,2,3)组成的方程组。三元齐次线性方程组总有零解(x，y，z)=(0，0，0)，当系数行列式不等于零时，它只有零解，当系数行列式等于零时，有无穷多个非零解1。

基本介绍三元齐次线性方程组是指常数项为零的三元线性方程组，实数域R上以x，y，z为元的三个方程所组成的三元齐次线性方程组的标准形式是

显然，定有解x=y=z=0，这是方程组的零解。当方程组的系数行列式D不为零时，它只有唯一的零解，当系数行列式D为零时，方程组除零解外，还有无数个非零解2。

例如，方程组

的系数行列式D=2≠0，方程组有唯一的零解。

又如，方程组

的系数行列式D=0，而

故可将方程 (1)， (2) 写成

而解得

令z=t，则可得方程组的解为

(t可取任何实数)2。

齐次线性方程组齐次线性方程组(system of homogeneous linear equations)是指常数项全为零的线性方程组，即线性方程组

x1=0，x2=0，…，xn=0显然是它的一个解，称为零解，其他的解称为非零解，齐次线性方程组的两个解(解向量)的和，以及任意数与任意解(解向量)的乘积，仍为该齐次线性方程组的解(解向量)。齐次线性方程组任意一组解(解向量)的线性组合仍为该齐次线性方程组的解(解向量).因此，齐次线性方程组的全体解向量构成一个向量空间，称为齐次线性方程组的解空间.设AX=0是数域P上m个方程的n元齐次线性方程组，则方程组AX=0有非零解的充分必要条件是矩阵A的秩r(A)